对称双线性形式

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对称双线性形式是在向量空间上的对称双线性形式。它们在正交极性和二次曲面的研究中非常重要。

定义

设 V 在域 K 上的 n 维向量空间。映射 $B: V\times V\rightarrow K:(u,v)\rightarrow B(u,v)$ 是这个空间上的对称双线性形式，如果:

$B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v \in V$
$B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w \in V$
$B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w \in V$

最后两个公理只蕴涵在第一个参数中的线性，但是第一个公理直接蕴涵了在第二个参数中的线性。

矩阵表示

设 $C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ 是 V 的基。定义 $n\times n$ 矩阵 A 通过 $A_{ij}=B(e_{i},e_{j}) \,$ 。矩阵 A 是对称的完全由于双线性形式的对称性。如果 $n\times 1$ 矩阵 x 表示关于这个基的一个向量 v，类似的 y 表示 w，则 $B(v,w) \,$ 给出为:

$x^{T} A y=y^{T} A x \,$ 。

假设 C' 是 V 的另一个基，有着可逆的 $n\times n$ 矩阵 S 使得: $\begin{bmatrix}e'_{1} & \cdots & e'_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_{1} & \cdots & e_{n}\end{bmatrix}S$ 。现在对称双线性形式的新矩阵表示给出为

$A' =S^{T} A S \,$ 。

正交性和奇异性

对称双线性形式总是自反的。定义两个向量 v 和 w 是关于双线性形式 B 是正交的，如果 $B (v, w) = 0$ ，由于自反性它等价于 $B (w, v) = 0$ 。

双线性形式 B 的根是正交于 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以轻易查出它是 V 的子空间。在使用关于特定基的矩阵表示 A 的时候，由 x 表示的 v 在根中，当且仅当

$A x=0 \Longleftrightarrow x^{T} A=0.$

矩阵 A 是奇异的，当且仅当根是不平凡的。

如果 W 是 V 的子空间，则正交于 W 中所有向量的集合 $W^{\perp}$ 也是子空间。当 B 的根是平凡的时候， $W^{\perp}$ 的维度是 n − dim(W)。

正交基

基 $C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ 关于 B 是正交的，当且仅当:

$B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.$

在域的特征不是2的时候，总存在正交基。这可以通过归纳法证明。

基 C 是正交的，当且仅当矩阵表示 A 是对角矩阵。

西尔维斯特惯性定理与惯性指数

一般情况下，西尔维斯特发现的惯性定理声称，在K为有序域的时候，简化后的二次型的矩阵表示中的对角元素等于 0、正或负的数目独立于正交基的选择。后两个数被称为双线性形式的正、负惯性指数^[1]。

实数情况

当工作于在实数上的空间的时候，可以走的远一点。设 $C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ 是正交基。

我们定义一个新基 $C'=\{e'_{1},\ldots,e'_{n}\}$

$e'_{i} = \left\{ \begin{matrix} e_{i} & \mbox{if } B(e_{i},e_{i})=0 \\ \frac{e_{i}}{\sqrt{B(e_{i},e_{i})}} & \mbox{if } B(e_{i},e_{i}) >0\\ \frac{e_{i}}{\sqrt{-B(e_{i},e_{i})}}& \mbox{if } B(e_{i},e_{i}) <0 \end{matrix}\right.$

现在，新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0,1 和 -1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

复数情况

当工作于在复数之上的空间中的时候，可以相当容易的走的更远一点。设 $C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ 是正交基。

我们定义新的基 $C'=\{e'_{1},\ldots,e'_{n}\}$ :

$e'_{i} = \left\{ \begin{matrix} e_{i} & \mbox{if }\; B(e_{i},e_{i})=0 \\ e_{i}/\sqrt{B(e_{i},e_{i})} & \mbox{if }\; B(e_{i},e_{i}) \neq 0\\ \end{matrix}\right.$